数字问题——引言
例1. 设 \( S\left( n\right) \) 和 \( P\left( n\right) \) 分别表示整数 \( n \) 的各位数字之和与各位数字之积。例如， \( P\left( {23}\right) = 6 \) 和 \( S\left( {23}\right) = 5 \) 。假设 \( N \) 是一个两位数，使得 \( N = {3P}\left( N\right) + S\left( N\right) \) 。问 \( N \) 有多少个可能的值？
(A) 2 (B) 3 (C) 6 (D) 8 (E) 9
解答:(E)。
设 \( N = {10a} + b \) 。则 \( {10a} + b = {3ab} + \left( {a + b}\right) \) 。
于是 \( {9a} = {3ab} \Rightarrow {3a} = {ab} \) ，这意味着 \( b = 3 \) ，因为 \( a \neq 0 \) 。注意，数字 \( {13},{23},{33},\ldots {93} \) 都满足所需条件。因此答案为(E)。
例2. 一个两位数与5的乘积等于该两位数数字颠倒后的数与6的乘积。求该数的各位数字之和。
(A) 2 (B) 3 (C) 6 (D) 8 (E) 9
解答:(E)。
\[ 5\left( {{10a} + b}\right) = 6\left( {{10b} + a}\right) \]
\[ {50a} + {5b} = {60b} + {6a} \]
\( {44a} = {55b} \Rightarrow {4a} = {5b} \) .
因为4与5互质，我们得到 \( a = 5 \) 和 \( b = 4 \) 。其和为9。
例3. 设 \( \clubsuit \left( x\right) \) 表示正整数 \( x \) 的各位数字之和。例如， \( \clubsuit \left( 7\right) = 7 \) 和 \( \clubsuit \left( {1234}\right) = 1 + 2 + 3 + 4 = {10} \) 。对于多少个两位数 \( x \) ，有 \( 2\left( {\Delta \left( x\right) }\right) = 6 \) ？
(A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12 (E) 14
解答:(D)。
设 \( y = 4\left( x\right) \) 。由于 \( x \) 的每一位数字最大为9，我们有 \( y \leq {18} \) 。因此若 \( \Delta \left( y\right) = 6 \) ，则 \( y = 6 \) ，即 \( y = {15} \) 。满足 \( \Phi \left( x\right) = 6 \) 的6个 \( x \) 值为60,51,15,42,
24和33。满足 \( x \) 的6个 \( \Phi \left( x\right) = {15} \) 值为96,69,87,78,69和96。因此总共有12个值。
例4. 求最小的三位数，它是4的倍数且各位数字之和为22。
(A) 794 (B) 688 (C) 778 (D) 974 (E) 以上都不是
解答:(B)。
设这个三位数为 \( \overline{abc} \) 。两位数 \( \overline{bc} \) 必须能被4整除。
\( a, b, c \) 的各位数字满足 \( c \) 为偶数，且每个数字都不小于6。已知 \( a + b + c = {22} \) 。
最小的三位数是499，但499不能被4整除。
我们尝试598，598也不能被4整除；再试688，688满足条件。注意794也满足，但比688大，因此答案为688。
例5. 设 \( {AB} \) 和 \( {CD} \) 为两位正整数，且 \( {AB} \cdot {CD} = \) 2016。求这四个数字之和的最大可能值。
(A) 20 (B) 19 (C) 18 (D) 16 (E) 14
解答:(A)。
\( {2016} = {2}^{5} \times {3}^{2} \times 7 = {21} \times {96} = {24} \times {84} = {28} \times {72} = {32} \times {63} = {36} \times {56} = {42} \times {48}. \) 因此最大和为 \( 3 + 6 + 5 + 6 = {20} \) 。
例6. 有多少个不同的五位数能被3整除且末两位为14？
(A) 270 (B) 300 (C) 330 (D) 810 (E) 900
解答:(B)。
一个数能被3整除当且仅当其各位数字之和能被3整除。因此五位数 \( {xyz14} \) 能被3整除当且仅当三位数
\( {xyz} \) 除以3余1。三位数共900个，其中 \( {900}/3 = {300} \) 个除以3余1。
例7. (2009 AMC 10 A) 111,111,111的平方的各位数字之和是多少？(A) 18 (B) 27 (C) 45 (D) 63 (E) 81 解答:(E)。方法一(官方解答):111,111,111的平方是
因此，111,111,111 的平方的各位数字之和为 81。
方法二(我们的解法):
\( {\left( {111},{111},{111}\right) }^{2} = {\left( {11},{111},{111} \times {10} + 1\right) }^{2} = {\left( {11},{111},{111} \times {10}\right) }^{2} + 2 \times {11},{111},{111} \times {10} + 1 \)
最后两项给出了 \( 2 \times 8 + 1 \) 的各位数字之和。
\( {\left( {11},{111},{111} \times {10}\right) }^{2} \) 展开式的各位数字之和与 \( 1{\left( 1,{111},{111}\right) }^{2} \) 展开式的各位数字之和相同。
\( {\left( {11},{111},{111}\right) }^{2} = {\left( 1,{111},{111} \times {10} + 1\right) }^{2} = {\left( 1,{111},{111} \times {10}\right) }^{2} + 2 \times \left( {1,{111},{111} \times {10}}\right) + 1 \)
最后两项给出了 \( 2 \times 7 + 1 \) 的各位数字之和。
我们观察到获取各位数字之和的模式:
\( \left( {2 \times 8 + 1}\right) + \left( {2 \times 7 + 1}\right) + \ldots + \left( {2 \times 0 + 1}\right) = 2 \times \left( {0 + 8}\right) \times 9/2 + 9 = {72} + 9 = {81} \) .
例 8. 回文数(palindrome)，如 12321，是指将其数字顺序颠倒后仍保持不变的数。 \( x \) 和 \( x + {72} \) 分别是三位和四位回文数。求 \( x \) 的各位数字之和是多少？
(A) 20 (B) 21 (C) 22 (D) 23 (E) 24
解答:(A)。
设 \( x + {32} \) 可写成 \( {CDDC} \) 的形式。因为 \( x \) 是三位数， \( {1000} < x + {72} \) \( < {1072} \) ，所以 \( C = 1 \) 且 \( D = 0 \) 。因此 \( x = {1001} - {72} = {929} \) ，而 \( x \) 的各位数字之和为 \( 9 + 2 + 9 = {20} \) 。
例 9. 设 \( n \) 表示能被 8 和 9 同时整除的最小正整数，其十进制表示仅由数字 8 和 9 组成，且每种数字至少出现一次。求 \( n \) 的最后四位数字。
(A) 8888 (B) 8898 (C) 8988 (D) 9888 (E) 9988
解答:(D)。
由于 \( n \) 能被 9 整除， \( n \) 的各位数字之和必须是 9 的倍数。 \( n \) 中至少有一个数字是 8，因此至少要有九个 8；同时至少有一个数字是 9。为了使 \( n \) 能被 8 整除，其最后三位数字必须都是 8。满足这些条件的十位数中，最小的是 8,888,889,888。
例 10. 有多少个三位正整数在将其数字顺序颠倒后恰好减少 99？
(A) 14 (B) 16 (C) 8 (D) 10 (E) 12
解答:(C)。
设这个三位数为 \( \overline{abc} \)
\[ \overline{abc} - \overline{cba} = {100a} + {10b} + c - \left( {{100c} + {10b} + a}\right) \]
\( = {99}\left( {a - c}\right) \)
于是 \( {99}\left( {a - c}\right) = {99} \Rightarrow a - c = 1 \) 。
因此 \( a \) 和 \( c : {98},{87},{76},{65},{54},{43},{32},{21} \) 各有8种取值， \( b \) 有10种取值，所以答案是 \( 8 \times {10} = {80} \) 。
更复杂的数字问题
例11. 一个四位正整数，将其数字顺序颠倒后得到的数比原数大4倍，求这个四位正整数。
(A) 2178 (B) 1333 (C) 1278 (D) 3127 (E) 4000
解答:(A)。
设这个四位数为 \( \overline{abcd} \) 。
\[ 4\overline{abcd} = \overline{dcba}\; \Rightarrow \;{4000a} + {400b} + {40c} + {4d} = {1000d} + {100c} + {10b} + a \]
\[ \Rightarrow {996d} + {60c} = {390b} + {3999a} \Rightarrow \;{1333a} = 2\left( {{166d} + {10c} - {65b}}\right) \;\left( 1\right) \]
因为1333与2互质， \( a = 2 \) 。
(1)式变为: \( {1333} = {166d} + {10c} - {65b} \) (2)
若 \( a = 2 \) ，由 \( {4000a} = {1000d} \) 可知 \( d = 8 \) 。
(2)式变为: \( {1333} = {166} \times 8 + {10c} - {65b}\; \Rightarrow \;{2c} = {13b} + 1 \) (3)
在(3)中 \( b \) 只能取1，于是得到 \( c = 7 \) 。这个四位正整数是2178。
例12. 一个四位正整数与其各位数字之和相加，结果为2015。这样的四位正整数有多少个？
(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 1 (E) 2
答案:(E)。
设这个四位数为 \( \overline{abcd} \) 。
\( a + b + c + d + \overline{abcd} = {2015} \)
\( \Rightarrow \;{1001a} + {101b} + {11c} + {2d} = {2015} \)
因此我们知道 \( a \) 必须是2或1。
如果 \( a = 2,{1001} \times 2 + {101b} + {11c} + {2d} = {2015} \Rightarrow {101b} + {11c} + {2d} = {13} \) 。
\( b \) 必须是0。
于是 \( {11c} + {2d} = {13} \) 。
我们得到 \( c = 1 \) 和 \( d = 1 \) 。
我们得到的四位数是:2011。
如果 \( a = 1,{101b} + {11c} + {2d} = {2015} - {1001} = {1014} \) 。
因此我们知道 \( b \) 必须是9。
那么 \( {11c} + {2d} = {1014} - {909} = {105} \) 。
于是 \( c \) 可以是9或8。
如果 \( c = 9,{2d} = {105} - {99} = 6 \) 。于是 \( d = 3 \) 。
这个四位数是1993。
如果 \( c = 8,{2d} = {105} - {88} = {17}.d \) 不是整数。
所以答案是2。
例13. 当一个四位数与其各位数字之和相加时，所得结果为1995。求这个四位数。
(A) 2016 (B) 1974 (C) 2015 (D) 1985 (E) 1234
解答:(B)。
设这个四位数为 \( \overline{abcd} \) 。
\( a + b + c + d + \overline{abcd} = {1995} \)
\( \Rightarrow \;{1001a} + {101b} + {11c} + {2d} = {1995} \)
于是我们知道 \( a \) 必须为1。那么 \( {101b} + {11c} + {2d} = {1995} - {1001} = {994} \) 。
于是我们知道 \( b \) 必须为9。
于是 \( {11c} + {2d} = {994} - {909} = {85} \)
所以 \( {11c} + {2d} = {85}\; \Rightarrow \;{2d} \equiv 8{\;\operatorname{mod}\;{11}}\; \Rightarrow \;d \equiv 4{\;\operatorname{mod}\;{11}} \)
由于 \( d \) 是一个数字， \( d = 4 \) 。于是 \( c = 7 \) 。
因此答案为1974。
例14. 一个六位数 \( \overline{\text{ labcde }} \) 的首位数字为1。这个六位数与3的乘积为 \( \overline{\text{abcde1 }} \) 。求 \( \overline{\text{ labcde }} \) 。
(A) 142857 (B) 132875 (C) 147588 (D) 127658 (E) 175824
解答:(A)。
设 \( \overline{abcde} \) 为 \( x \) 。
\( \overline{1abcde} = {100000} + \overline{abcde} = {100000} + x. \)
\( \overline{abcde1} = \overline{abcde0} + 1 = {10} \times \overline{abcde} + 1 = {10x} + 1. \)
我们知道 \( 3 \times \left( {{100000} + x}\right) = {10x} + 1 \) 。
解得 \( x = {42857} \) 。
答案是 \( \overline{\text{ labcde }} = {142857} \) 。
例15. 一个六位正整数的末位是6。若将6移到最前面作为首位，所得新数是原数的4倍。求原正整数的最小可能值。
(B) 152875 (D) 167658 (E) 138564
解答:(A)。
设 \( \overline{abcde} \) 为 \( x \) 。
\( \overline{abcde6} = \overline{abcde0} + 6 = {10} \times \overline{abcde} + 6 = {10x} + 6. \)
\( \overline{6abcde} = {600000} + \overline{abcde} = {600000} + x. \)
我们知道 \( {600000} + x = 4\left( {{10x} + 6}\right) \) 。
解得 \( x = {15384} \) 。
答案是 \( \overline{abcde6} = {153846} \) 。
例16. (2005 AMC 10B 第24题) 设 \( x \) 和 \( y \) 为两位整数，且 \( y \) 由 \( x \) 的数位反转得到。整数 \( x \) 和 \( y \) 满足 \( {x}^{2} \) \( - {y}^{2} = {m}^{2} \) ，其中 \( m \) 为某正整数。求 \( x + y + m \) ？
(A) 88 (B) 112 (C) 116 (D) 144 (E) 154
解答:(E)。
方法1(官方解答):
由题设条件可得 \( x > y \) 。
设 \( x = {10a} + b \) 和 \( y = {10b} + a \) ，其中 \( a > b \) 。则
\( {m}^{2} = {x}^{2} - {y}^{2} = {\left( {10}a + b\right) }^{2} - {\left( {10}b + a\right) }^{2} = {99}{a}^{2} - {99}{b}^{2} = {99}\left( {{a}^{2} - {b}^{2}}\right) . \)
由于 \( {99}\left( {{a}^{2} - {b}^{2}}\right) \) 必须是完全平方数，
\( {a}^{2} - {b}^{2} = \left( {a + b}\right) \left( {a - b}\right) = {11}{k}^{2} \) ，其中 \( k \) 为某正整数。
因为 \( a \) 和 \( b \) 是不同的数字，所以 \( a - b \leq 9 - 1 = 8 \) 且 \( a + b \leq 9 + 8 = \)
- 由此可知 \( a + b = {11}, a - b = {k}^{2} \) ，且 \( k \) 为1或2。
若 \( k = 2 \) ，则 \( \left( {a, b}\right) = \left( {{15}/2,7/2}\right) \) ，这是不可能的。因此 \( k = 1 \) 且 \( \left( {a, b}\right) = (6 \) ，
5)。于是得到 \( x = {65}, y = {56}, m = {33} \) ，且 \( x + y + m = {154} \) 。
方法二(我们的解法):
根据给定条件，可得 \( x > y \) 。
设 \( x = {10a} + b \) 且 \( y = {10b} + a \) ，其中 \( a > b \) 。则
\( {m}^{2} = {x}^{2} - {y}^{2} = {\left( {10}a + b\right) }^{2} - {\left( {10}b + a\right) }^{2} = {99}{a}^{2} - {99}{b}^{2} = {99}\left( {{a}^{2} - {b}^{2}}\right) . \)
由于 \( {99}\left( {{a}^{2} - {b}^{2}}\right) \) 必须是一个完全平方数，故存在某个正整数 \( n \) ，使得
\( {a}^{2} - {b}^{2} = \left( {a + b}\right) \left( {a - b}\right) = {11}{n}^{2} \) (1)
注意 \( \left( {a + b}\right) \) 与(a - b)的奇偶性相同。
我们有以下两种情况:
情况I:
\[ \left. \begin{array}{l} a + b = {11} \\ a - b = {n}^{2} \end{array}\right\} \tag{2} \]
或
\[ \left. \begin{array}{l} a + b = {n}^{2} \\ a - b = {11} \end{array}\right\} \tag{3} \]
两个方程组都给出 \( a = \frac{{11} + {n}^{2}}{2} \) 。
\( n \) 为奇数，且 \( a \) 为6到9之间的数字。因此 \( 6 \leq \frac{{11} + {n}^{2}}{2} \leq 9 \Rightarrow \;1 \leq {n}^{2} \leq 7 \) 。 \( n \) 的唯一取值为1，于是 \( a = 6 \) 。将此值代入(2)，
我们得到 \( b = 5 \) 。于是 \( x = {65}, y = {56}, m = {33} \) ，且 \( x + y + m = {154} \) 。
情况II:
\( \left. \begin{array}{l} a + b = n \\ a - b = {11n} \end{array}\right\} \)
或
\[ \left. \begin{array}{l} a + b = {11n} \\ a - b = n \end{array}\right\} \]
(4) (5)
两个系统都给出 \( a = {6n} \) 。
我们知道 \( a \) 是一个小于9的非零数字，因此 \( n = 1 \) 且 \( a = 6 \) 。
将其代入(5)，我们得到 \( b = 5 \) 。
这给出 \( x = {65}, y = {56}, m = {33} \) ，以及 \( x + y + m = {154} \) 。
数字问题——应用
例17. 设 \( S \) 为所有有理数 \( r,0 < r < 1 \) 的集合，这些有理数具有形如0.abababab \( \cdots = 0.\overline{ab} \) 的循环小数展开，其中数字 \( a \) 、 \( b \) 不一定不同。若将 \( S \) 的元素写成最简分数，需要多少个不同的分子？
(A) 64 (B) 63 (C) 68 (D) 60 (E) 33
解答:(B)。
\( 0.\overline{ab} = \frac{ab}{99} \)
\( {99} = {3}^{2} \times {11} \)
我们分两种情况:
情况1:两位数 \( {ab} \) 既不被3整除也不被11整除。此时分数 \( \frac{ab}{{3}^{2} \times {11}} \) 已为最简。
这种不同分子的数量为
\[ {99} - \left( {\left\lfloor \frac{99}{3}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{99}{11}\right\rfloor - \left\lfloor \frac{99}{3 \times {11}}\right\rfloor }\right) = {99} - \left( {{33} + 9 - 3}\right) = {60}. \]
情况2:两位数 \( {ab} \) 是3或11的倍数: \( \frac{k}{11},\frac{l}{{3}^{2}} \) ，或 \( \frac{l}{3} \) ，其中 \( k \) 是3的倍数， \( l \) 是11的倍数。
由于我们要求最简分数， \( l \) 没有可能的取值。
分数 \( \frac{ab}{{3}^{2} \times {11}} \) 可化简为 \( \frac{3}{11},\frac{6}{11} \) ，以及 \( \frac{9}{11} \) (当 \( k = 3,6,9 \) 时)
答案为 \( {60} + 3 = {63} \) 。
例18. 一个两位正整数被其两个不同非零数字之和除，求商的最小可能值。
(A) 1.7 (B) 1.1 (C) 1.9 (D) 1.6 (E) 1.5
解答:(C)。
方法一:
设所求数的个位和十位数字分别为 \( x \) 和 \( y \) ， \( x = 1,2,\ldots 9 \) ，且 \( y = 0,1,2,\ldots 9 \) ， \( x \neq y \) 。则待最小化的商为 \( \frac{{10x} + y}{x + y} \) 。
为使商最小，我们最小化分数
\( \frac{{10x} + y}{x + y} = 1 + \frac{9x}{x + y} \) ，或等价地 \( \frac{9x}{x + y} \) 。
设 \( \frac{9x}{x + y} = u\; \Rightarrow \;\frac{9 - u}{u} = \frac{y}{x} \) 。
我们知道 \( 0 \leq \frac{y}{x} \leq 9\; \Rightarrow \;0 \leq \frac{9 - u}{u} \leq 9 \Rightarrow \;0 \leq \frac{9}{u} - 1 \leq 9 \Rightarrow \)
\[ \frac{9}{10} \leq u \leq 9 \]
因此 \( u \) 的最小值为 \( 9/{10}.\frac{{10x} + y}{x + y} = 1 + u = 1 + \frac{9}{10} = {1.9} \)
方法二:
\[ \frac{{10x} + y}{x + y} = 1 + \frac{9x}{x + y} = 1 + \frac{9}{1 + \frac{y}{x}}. \]
当 \( 1 + \frac{y}{x} \) 取最大值时， \( \frac{{10x} + y}{x + y} \) 取最小值。
\( \frac{y}{x} \) 的最大值为9，因此 \( \frac{{10x} + y}{x + y} \) 的最大值为 \( 1 + \frac{9}{1 + \frac{y}{x}} = \)
\[ 1 + \frac{9}{1 + 9} = 1 + \frac{9}{10} = {1.9} \]
例19. Bob年龄的两个数字与Cathy年龄的两个数字相同，但顺序相反。十年后，Bob的年龄将是Cathy那时年龄的两倍。他们当前年龄相差多少？
(A) 9 (B) 18 (C) 27 (D) 36 (E) 45
解答:(D)。
设鲍勃的年龄为 \( {10x} + y \) ，凯茜的年龄为 \( {10y} + x \) 。十年后，鲍勃的年龄将是巴蒂的两倍。因此 \( {10x} + y + {10} = 2\left( {{10y} + x + {10}}\right) \) ，所以 \( {8x} = {19y} + {10} \) 。表达式 \( {19y} + {10} = {16y} + 8 + {3y} + 2 \) 是8的倍数当且仅当 \( {3y} + 2 \) 是8的倍数。由于 \( x \) 和 \( y \) 均不超过9，唯一解为 \( y = 2 \) 且 \( x \) \( = 6 \) 。于是鲍勃62岁，凯茜26岁，两人年龄差为36岁。
例20. 亚历克斯以恒定速度从家出发，一小时后到达温特维尔。他继续以恒定速度从温特维尔驶往萨默维尔，用时一小时
四十分钟。从他家到温特维尔的距离为 \( \overline{ab} \) 英里，其中 \( \overline{ab} \) 是一个两位正整数；从温特维尔到萨默维尔的距离为 \( \overline{ba} \) 英里。求亚历克斯家到温特维尔的距离，已知
亚历克斯家到萨默维尔的距离超过100英里。
(A) 84 (B) 26 (C) 46 (D) 48 (E) 64
解答:(D)。
设 \( d, t, v \) 分别为距离、时间和速度。
\( {d}_{1} = v \times {t}_{1} \) (1)
\( {d}_{2} = v \times {t}_{2} \) (2)
(1) \( \div \left( 2\right) : \frac{{d}_{1}}{{d}_{2}} = \frac{{t}_{1}}{{t}_{2}}\; \Rightarrow \;\frac{\overline{ab}}{\overline{ba}} = \frac{1}{1 + \frac{40}{60}} = \frac{1}{\frac{7}{4}} = \frac{4}{7} \Rightarrow \;7\overline{ab} = 4\overline{ba} \)
\[ \Rightarrow \;7\left( {{10a} + b}\right) = 4\left( {{10b} + a}\right) \; \Rightarrow \;b = {2a} \]
我们还知道 \( \overline{ab} + \overline{ba} > {100} \Rightarrow {10a} + b + {10b} + a > {100} \)
\[ \Rightarrow \;{11}\left( {a + b}\right) > {100}\; \Rightarrow \;{11}\left( {a + {2a}}\right) > {100}\; \Rightarrow \]
\[ {33a} > {100}\; \Rightarrow \;a > \frac{100}{33} = 3\frac{1}{33} \]
由于 \( a \) 为整数， \( a \geq 4 \) 。由于 \( b = {2a} \leq 9, b \leq \frac{9}{2} = {4.5} \) 。
于是 \( a = 4.b = 8 \) 。
答案为(D)。
例21. 亚历克斯和他的哥哥鲍勃以55英里/小时的恒定速度从佐治亚州萨默维尔驶往温特维尔， \( \mathrm{{NC}} \) ，行驶了 \( n \) 小时，其中 \( n \) 为正整数。他注意到出发前汽车里程表读数为 \( \overline{abc} \) ，一个三位数；行程结束时读数为 \( \overline{cba} \) 。求 \( n \) 的值。
(A) 4 (B) 5 (C) 7 (D) 8 (E) 9
解答:(E)。
\[ \overline{abc} = {100a} + {10b} + c \tag{1} \]
\[ \overline{cba} = {100c} + {10b} + a \tag{2} \]
(2) \( - \left( 1\right) : {100c} + {10b} + a - \left( {{100a} + {10b} + c}\right) = {99c} - {99a} = {99}\left( {c - a}\right) \) .
由于 \( {99}\left( {c - a}\right) = {55n}\; \Rightarrow \;9\left( {c - a}\right) = {5n} \) 。
由于5和9互质，(c - a)必须是5的倍数。由于 \( c \) 和 \( a \) 均为小于 \( {10}, c - a = 5 \) 的数字。于是 \( n = 9 \) 。
问题
问题1. 一个两位数的各位数字之和为11。当数字顺序颠倒后，原数增加了63。这两个数字的乘积是多少？
(A) 12 (B) 13 (C) 16 (D) 18 (E) 19
问题2. 在将两个正整数 \( a \) 和 \( b \) 相乘时，Ron把两位数 \( a \) 的数字顺序颠倒了。他得到的错误乘积是203。 \( a \) 和 \( b \) 的正确乘积值是多少？
(A) 616 (B) 261 (C) 204 (D) 614 (E) 644
问题3. 当一个两位数与另一个由相同数字逆序排列而成的两位数相加时，和是一个完全平方数。求所有小于50的这类两位数的和。
(A) 112 (B) 113 (C) 114 (D) 118 (E) 119
问题4. 从一个两位数中减去其各位数字之和，所得结果的个位数字是7。有多少个两位数具有此性质？
(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 (E) 14
问题5. 将三位数 \( {4a1} \) 与328相加，得到三位数 \( {7b9} \) 。如果 \( {7b9} \) 能被9整除，则 \( a + b \) 等于:
(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 9
问题6. 一个正两位数在数字顺序颠倒后恰好增加了9。这样的正两位数有多少个？
(A) 14 (B) 6 (C) 8 (D) 10 (E) 11
问题7. 一个两位数与4的乘积等于该两位数数字顺序颠倒后的数与6的乘积。所有这些两位数的和是多少？
(A) 184 (B) 186 (C) 190 (D) 192 (E) 194
问题8. 有多少个正两位数在数字顺序颠倒后恰好增加了18？
(A) 4 (B) 6 (C) 7 (D) 10 (E) 14
问题9。一个四位数的各位数字之和为32。将该数乘以10001。在最终乘积中，数字8最多可能出现多少次？
(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 (E) 14
问题10。将一个两位数与其各位数字之和的三倍相加，所得结果恰好等于将该数数字颠倒后得到的数。这样的两位数有多少个？
(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 1 (E) 2
问题11。一个两位数的各位数字之和为12。将数字颠倒后，原数增加了54。求这两个数字的乘积。
(A) 24 (B) 26 (C) 27 (D) 54 (E) 12
问题12。一个两位数的各位数字之和为11。若该数与其数字颠倒后的数之差为27，求原数与其数字颠倒后的数之和。
(A) 124 (B) 126 (C) 127 (D) 154 (E) 121
问题13。一个两位数乘以5得到一个三位数。将数字7作为个位数字加到这个三位数上，所得新的四位数比原两位数大1281。求原数。
(A) 24 (B) 26 (C) 27 (D) 74 (E) 12
问题14。将一个特定的正两位数数字颠倒后，该数增加了20%。求原数。
(A) 45 (B) 46 (C) 47 (D) 44 (E) 42
问题15。有多少个大于10的正两位数在数字颠倒后恰好减少27？
(A) 4 (B) 6 (C) 7 (D) 5 (E) 2
问题16。一个三位数 \( N \) 有三个不同的数字。当这些数字进行全排列时，最大数与最小数之差等于 \( N \) 。这样的三位数有多少个？
(A) 2 (B) 6 (C) 1 (D) 4 (E) 5
问题17. 求一个两位数 \( \overline{ab} \) ，使其满足方程 \( a \times b \times \overline{ab} = \overline{bbb} \) ，其中 \( a \) 和 \( b \) 均为数字。
(A) 37 (B) 27 (C) 47 (D) 57 (E) 72
问题18. 一个数可以写成 \( \left( {m + 9}\right) \left( {n + {18}}\right) \) 的形式，其中 \( m \) 和 \( n \) 是用数字2、3、4、5各一次组成的两位数。求这样的最小数。
(A) 1749 (B) 1787 (C) 1747 (D) 1767 (E) 1757
问题19. 当六位数 \( \overline{abcabc} \) 分别被7、11、13除时，所得余数之和是多少？
(A) 0 (B) 6 (C) 10 (D) 12 (E) 2
问题20. 一个四位正整数能被111整除，且其商等于各位数字之和。求这个四位正整数。
(A) 2997 (B) 3333 (C) 1111 (D) 2779 (E) 1110
问题21. 一个六位正整数的末位是6。若将6移到最前面作为首位，所得新数是原数的4倍。求原正整数的最小可能值。
(A) 153846 (B) 152875 (C) 145386 (D) 167658 (E) 138564
问题22. 一个四位数与其各位数字之和相加，结果为2001。求这个四位数。
(A) 1997 (B) 1987 (C) 1977 (D) 1967 (E) 1957
问题23. 1993年生日时，Bob的年龄等于其出生年份的各位数字之和。他在1993年多少岁？
(A) 24 (B) 26 (C) 28 (D) 20 (E) 14
解答
问题1。答案:(D)。
设 \( a \) 和 \( b \) 为这两个数字。
\( a + b = {11} \) (1)
\[ {10b} + a - \left( {{10a} + b}\right) = {63} \Rightarrow \;9\left( {b - a}\right) = {63} \Rightarrow \;b - a = 7 \tag{2} \]
(1) \( + \left( 2\right) : b = 9 \) 和 \( a = 2 \) 。这两个数字的乘积为18。
问题2。答案:(E)。
因为 \( {203} = {29} \cdot 7 \) ，203的唯一两位因数是29。正确的乘积本应是 \( {92} \cdot 7 = {644} \) 。问题3。答案:(C)。设 \( a \) 和 \( b \) 为这两个数字。
\[ {10a} + b + {10b} + a = {n}^{2} \tag{1} \]
\[ {11}\left( {a + b}\right) = {n}^{2} \tag{2} \]
由于 \( a \) 和 \( b \) 都是数字， \( a + b = {11} \) 。我们有八组: \( \left( {9,2}\right) ,\left( {2,9}\right) ;\left( {8,3}\right) ,\left( {3,8}\right) ;\left( {7,4}\right) ,\left( {4,7}\right) \) ；以及 \( \left( {6,5}\right) ,\left( {5,6}\right) \) 。答案是 \( {29} + {38} + {47} = {114} \) 。
问题4。答案:(D)。
设 \( {10x} + y \) 为两位数。当减去 \( x + y \) 时，结果为 \( {9x} \) 。唯一以6结尾且为9的倍数的两位数是 \( 9 \cdot 7 = {63} \) ，因此 \( x = 7 \) 。70到79(含)之间的十个数都具有此性质。
问题5。答案:(A)。
可直接注意到 \( {7b9} \) 中各位数字之和 \( \left( {7 + b + 9}\right) \) 必须是9的倍数。因此数字 \( b \) 为2。于是，如前所述， \( a = 0 \) 且 \( a + b = 2 \) 。
问题6。答案:(C)。
设 \( a \) 为两位整数的十位数字， \( b \) 为个位数字。初始的两位数为 \( {10a} + b \) 。
当数字顺序颠倒后，该数变为 \( {10b} + a \) 。
\[ {10b} + a - \left( {{10a} + b}\right) = 9\; \Rightarrow \;{9b} - {9a} = 9\; \Rightarrow \;b - a = 1. \]
\( b \) 可以是9、8、7、6、5、4、3或2，对应的 \( a \) 分别为8、7、6、5、4、3、2、1。
共有8个可能的两位正整数。
问题7。答案:(D)。
设这个数为 \( {ab} \) 。
\( 4\left( {{10a} + b}\right) = 6\left( {{10b} + a}\right) \)
\( \Rightarrow {40a} + {4b} = {60b} + {6a} \)
\( \Rightarrow {36a} = {54b} \Rightarrow {4a} = {6b}\; \Rightarrow {2a} = {3b} \) .
因为2和3互质， \( a \) 可以是3、6或9，而 \( b \) 则相应为6、4或2。
于是我们得到以下两位数:96、64和32。
和为 \( {96} + {64} + {32} = {192} \) 。
问题8。解答:(C)。
设 \( a \) 为两位整数的十位数字， \( b \) 为个位数字。初始两位数为 \( {10a} + b \) 。
将数字颠倒后，该数变为 \( {10a} + b \) 。
\( {10b} + a - \left( {{10a} + b}\right) = {18} \)
\[ \Rightarrow \;{9b} - {9a} = {18} \Rightarrow \;b - a = 2\text{.} \]
\( b \) 可以是9、8、7、6、5、4或3， \( a \) 相应为7、6、5、4、3、2、1。共有7个可能的两位正整数。
问题9。解答:(C)。
设这个四位数为abcd。
因为 \( a + b + c + d = {32} \) ，这个四位数可以是
9995, 9986, 9977, 9887, 8888.
\( {10001} \times \overline{abcd} = \overline{abcdabcd} \) .
数字8出现次数最多的情况是
\( {10001} \times \overline{8888} = \overline{88888888} \)
数字8出现8次。
问题10。解答:(A)。
设这个两位数为 \( \overline{xy} \) 。
\[ 3\left( {x + y}\right) + \overline{xy} = \overline{yx}\; \Rightarrow \;{3x} + {3y} + {10x} + y = {10y} + x\; \Rightarrow \]
\[ \Rightarrow \;y = {2x}\text{.} \]
这些数是12、24、36和48。答案是4。
问题11。解答:(C)。
设 \( a \) 和 \( b \) 为这两个数字。
\[ a + b = {12} \tag{1} \]
\( {10b} + a - \left( {{10a} + b}\right) = {54} \) (2)
(1)+(2): \( {9b} - {9a} = {54}\; \Rightarrow \;b - a = 6 \) (3)
(1) \( + \left( 3\right) : b = 9 \) 和 \( a = 3 \) 。这两个数字的乘积为27。
问题12。解答:(E)。
设 \( a \) 和 \( b \) 为这两个数字。
\( a + b = {11} \) .
原数与其数字倒序后所得数之和
\( {10a} + b + {10b} + a = {11}\left( {a + b}\right) = {11} \times {11} = {121} \) .
问题13。解答:(B)。
设该数为 \( {10a} + b \) 。则 \( 5\left( {{10a} + b}\right) = {100c} + {10d} + e \)
\[ {10a} + b = {1000c} + {100d} + {10e} + 7 - {1281} \]
解此方程组，得: \( {49}\left( {{10a} + b}\right) = {1274} \) ，故 \( {10a} + b = {26} \) 。
问题14。解答:(A)。
设该数为 \( {ab} \) 。
\( \left( {{10a} + b}\right) \times \frac{120}{100} = {10b} + a\; \Rightarrow \;\left( {{10a} + b}\right) \times \frac{6}{5} = {10b} + a \)
\( \Rightarrow \;\left( {{10a} + b}\right) \times 6 = 5\left( {{10b} + a}\right) \Rightarrow {55a} = {44b} \Rightarrow \;{5a} = {4b} \)
因5与4互质，得 \( a = 4 \) 与 \( b = 5 \) 。答案为45。
问题15。解答:(B)。
设 \( a \) 为两位整数的十位数字， \( b \) 为个位数字。初始两位数为 \( {10a} + b \) 。
当数字倒序后，该数变为 \( {10a} + b \) 。
\( {10a} + b - \left( {{10b} + a}\right) = {27} \)
\[ \Rightarrow \;9\left( {a - b}\right) = {27} \Rightarrow \;a - b = 3. \]
\( a \) 可为9、8、7、6、5或4，而 \( b \) 相应为6、5、4、3、2或1。共有6个可能的两位正整数。
问题16。解答:(C)。
设最大数为 \( \overline{abc} \) ，则最小数为 \( \overline{cba} \) 。
\( \overline{abc} - \overline{cba} = {100a} + {10b} + c - \left( {{100c} + {10b} + a}\right) = {99}\left( {a - c}\right) \)
因此 \( N \) 能被99整除。我们有九个三位数:198、297、396、495、594、
693、792、891和990。只有495满足: \( {495} = {954} - {459} \) 。
问题17。解答:(A)。
\( a \times b \times \overline{ab} = \overline{bbb} \Rightarrow {ab}\left( {{10a} + b}\right) = {100b} + {10b} + b \Rightarrow {ab}\left( {{10a} + b}\right) = {111} = {37} \times 3. \)
易见 \( a = 3 \) 和 \( b = 7 \) 。答案为37。
问题18。解答:(A)。
由于我们希望乘积 \( \left( {m + 9}\right) \left( {n + {18}}\right) \) 最小，需满足两个条件:
(1) \( m \times n \) 必须尽可能小。
若 \( a < b < c < d \) ，其中 \( a, b, c \) 和 \( d \) 为不同数字，则最小乘积可
由 \( \overline{ac} \times \overline{bd} \) 得到。因此一个数为24，另一个为35。
(2) \( \left( {m + 9}\right) \) 与 \( \left( {n + {18}}\right) \) 必须尽可能远。
这意味着 \( m = {24} \) 与 \( n = {35} \) 。
最小乘积为 \( \left( {m + 9}\right) \left( {n + {18}}\right) = \left( {{24} + 9}\right) \left( {{35} + {18}}\right) = {1749} \) 。
问题19。解答:(A)。
\[ \overline{abcabc} = {100000a} + {10000b} + {1000c} + {100a} + {10b} + c \]
\( = {100100a} + {10010b} + {1001c} \)
\[ = {1001}\left( {{100a} + {10b} + c}\right) = 7 \times {11} \times {13}\left( {{100a} + {10b} + c}\right) \text{.} \]
因此 \( \overline{abcabc} \) 始终能被7、11和13整除。
余数全为0，和也为0。
问题20。解答:(A)。
设这个四位数为 \( \overline{abcd} = {1000a} + {100b} + {10c} + d \) 。
\( \frac{{1000a} + {100b} + {10c} + d}{111} = {9a} + b + \frac{a - {11b} + {10c} + d}{111} \)
因为 \( \overline{abcd} \) 能被 \( {111},\frac{a - {11b} + {10c} + d}{111} \) 整除，所以必须是整数。
因为 \( - {98} \leq a - {11b} + {10c} + d \leq {108}, a - {11b} + {10c} + d \) 必须为0。
\( \Rightarrow \;{11b} = a + {10c} + d \) (1)
我们还知道 \( {9a} + b = a + b + c + d\; \Rightarrow \;{8a} = c + d \) (2)
将(2)代入(1)得: \( {11b} = 9\left( {a + c}\right) \) (3)
由于11和9互质，我们知道 \( b = 9 \) 和 \( a + c = {11} \) 。
由(2)可见 \( a \leq 2 \) 。因此a必须为2。于是 \( c = 9, d = 7 \) 。
答案是2997。
问题21。解答:(A)。
设原来的 \( k \) 位正整数为 \( n = {10m} + 6, m \) ，它是一个有 \( k - 1 \) 位的正整数。
\[ 6 \times {10}^{k - 1} + m = 4\left( {{10m} + 6}\right) \; \Rightarrow 6 \times {10}^{k - 1} + m = {40m} + {24} \Rightarrow m = \frac{6 \times {10}^{k - 1} - {24}}{39}. \]
当 \( k = 1,2,3,4 \) ，且 \( 5, m \) 不是整数。
当 \( k = 6 \) 时， \( m \) 的最小值为15384。
原正整数的最小可能值为153846。
问题22。解答:(C)。
设这个四位数为 \( \overline{abcd} \) 。
\[ a + b + c + d + \overline{abcd} = {2001} \]
\( \Rightarrow \;{1001a} + {101b} + {11c} + {2d} = {2001} \)
因此我们知道 \( a \) 必须为1。于是 \( {101b} + {11c} + {2d} = {2001} - {1001} = {1000} \) 。
因此我们知道 \( b \) 必须为9。
于是 \( {11c} + {2d} = {1000} - {909} = {91} \)
所以 \( {11c} + {2d} = {91}\; \Rightarrow \;d = \frac{{91} - {11c}}{2} \leq 9 \)
所以 \( \frac{{91} - {11c}}{2} \leq 9\; \Rightarrow \;c \geq \frac{{91} - {18}}{11} \approx {6.63} \) 。
所以 \( c \geq 7 \) 。
如果 \( c = 7, d = 7 \) 。那么答案就是1977。
注意 \( c = 8 \) 或 \( c = 9 \) 都行不通。
或者 \( {11c} + {2d} = {91} \Rightarrow {2d} \equiv {14}\;{\;\operatorname{mod}\;{11}} \Rightarrow d \equiv 7{\;\operatorname{mod}\;{11}} \) 。
因此 \( c = 7 \) ，答案为1977。
问题23。解答:(D)。
设 \( a \) 和 \( b \) 为Bob年龄的最后两位数字。前两位数字应为18或19。
如果年份的前两位是18，我们有
\( 1 + 8 + a + b = {1993} - {18}\overline{ab} = {193} - \left( {{10a} + b}\right) \Rightarrow \;{11a} + {2b} = {193} \) ，这是不可能的
因为 \( a \) 和 \( b \) 都是小于10的数字。
如果年份的前两位是19，我们有
\[ 1 + 9 + a + b = {1993} - {19}\overline{ab} = {93} - \left( {{10a} + b}\right) \]
\( {11a} + {2b} = {83}\; \Rightarrow \;b = \frac{{83} - {11a}}{2} \leq 9\; \Rightarrow \;a \geq \frac{{83} - {18}}{11} \approx 6. \)
如果 \( a = 6, b \) 不是整数。于是我们令 \( a = 7 \) 。我们得到 \( b = 3 \) 。
所以鲍勃在1993年时 \( {1993} - {1973} = {20} \) 岁。
或者 \( {11a} + {2b} = {83}\; \Rightarrow {2b} \equiv 6\;{\;\operatorname{mod}\;{11}}\; \Rightarrow \;b \equiv 3{\;\operatorname{mod}\;{11}} \) 。
因此 \( a = 7 \) ，答案是1993。